Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với $AB=AD=1,CD=2.$ Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy, còn cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45°. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.
A. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
B. $R=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
C. $R=\dfrac{5}{2}.$
D. $R=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
A. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
B. $R=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
C. $R=\dfrac{5}{2}.$
D. $R=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
Cách 1: (Phương pháp tọa độ)
Dễ thấy $BE\bot CD;SD=AD=1.$ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $E\equiv O,B$ thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy và tia DS cùng hướng với tia Oz. Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, ta có $B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;1;0 \right),D\left( 0;-1;0 \right),S\left( 0;-1;1 \right).$
Giả sử mặt cầu đi qua bốn điểm S,B,C,E có phương trình là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0,$ với điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& 2a+1=0 \\
& 2b+1=0 \\
& -2b+2c+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=-\dfrac{1}{2} \\
& c=-\dfrac{3}{2};d=0 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy, mặt cầu đi qua bốn điểm S,B,C,E có phương trình là
Cách 2: (Hình học không gian tổng hợp)
Ta có $BD=\sqrt{2}$ và tam giác BEC vuông cân tại E nên $BC=\sqrt{2}.$
Do đó $D{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}+B{{C}^{2}},$ suy ra tam giác BCD vuông cân tại B.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC thì I là trung điểm của BC .
Dễ dàng tính được $IB=IC=\dfrac{\sqrt{2}}{2};ID=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (BEC) thì đường thẳng đó là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC và song song với SD. Từ S kẻ đường thẳng song song với DI, cắt trục đường tròn nói trên tại điểm H. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC thì O thuộc đường thẳng IH.
Ta lại có $HC=\sqrt{H{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}<HS=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ nên O nằm ngoài đoạn IH.
Đăt $OH=x$ thì $O{{S}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{S}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{5}{2}$ và $O{{C}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}={{\left( 1+x \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}.$
Do $OS=OC$ nên ta có ${{x}^{2}}+\dfrac{5}{2}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}.$
Suy ra $OS=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
Dễ thấy $BE\bot CD;SD=AD=1.$ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $E\equiv O,B$ thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy và tia DS cùng hướng với tia Oz. Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, ta có $B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;1;0 \right),D\left( 0;-1;0 \right),S\left( 0;-1;1 \right).$
Giả sử mặt cầu đi qua bốn điểm S,B,C,E có phương trình là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0,$ với điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& 2a+1=0 \\
& 2b+1=0 \\
& -2b+2c+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=-\dfrac{1}{2} \\
& c=-\dfrac{3}{2};d=0 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy, mặt cầu đi qua bốn điểm S,B,C,E có phương trình là
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-x-y-3z=0.$
Suy ra bán kính của mặt cầu là $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$ Cách 2: (Hình học không gian tổng hợp)
Ta có $BD=\sqrt{2}$ và tam giác BEC vuông cân tại E nên $BC=\sqrt{2}.$
Do đó $D{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}+B{{C}^{2}},$ suy ra tam giác BCD vuông cân tại B.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC thì I là trung điểm của BC .
Dễ dàng tính được $IB=IC=\dfrac{\sqrt{2}}{2};ID=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (BEC) thì đường thẳng đó là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC và song song với SD. Từ S kẻ đường thẳng song song với DI, cắt trục đường tròn nói trên tại điểm H. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC thì O thuộc đường thẳng IH.
Ta lại có $HC=\sqrt{H{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}<HS=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ nên O nằm ngoài đoạn IH.
Đăt $OH=x$ thì $O{{S}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{S}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{5}{2}$ và $O{{C}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}={{\left( 1+x \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}.$
Do $OS=OC$ nên ta có ${{x}^{2}}+\dfrac{5}{2}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}.$
Suy ra $OS=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
Đáp án D.