Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=a,AD=2a$. Biết $SA=\sqrt{3}a$ và $SA\bot \left( ABCD \right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng (SCD).
A. $d=\dfrac{3\sqrt{50}a}{80}.$
B. $d=\dfrac{3\sqrt{15}a}{60}.$
C. $d=\dfrac{3\sqrt{30}a}{40}.$
D. $d=\dfrac{3\sqrt{10}a}{20}.$
A. $d=\dfrac{3\sqrt{50}a}{80}.$
B. $d=\dfrac{3\sqrt{15}a}{60}.$
C. $d=\dfrac{3\sqrt{30}a}{40}.$
D. $d=\dfrac{3\sqrt{10}a}{20}.$
Cách 1:
Kẻ $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SB$
Ta có $d=\dfrac{HS}{BS}.d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{HS}{BS}.\dfrac{BI}{AI}.d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Mà $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4}$
Tam giác ADI có BC là đường trung bình nên $\dfrac{BI}{AI}=\dfrac{1}{2}.$
Vậy $d=\dfrac{3}{8}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{8}d\left( A,SC \right)=\dfrac{3}{8}.\dfrac{SA.SC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}.$
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
$d=\dfrac{3{{V}_{H.SCD}}}{{{S}_{SCD}}};\dfrac{{{V}_{S.HCD}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.HCD}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{8}SA.AB.BC=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}};{{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}SC.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{2}\Rightarrow d=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$
Kẻ $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SB$
Ta có $d=\dfrac{HS}{BS}.d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{HS}{BS}.\dfrac{BI}{AI}.d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Mà $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4}$
Tam giác ADI có BC là đường trung bình nên $\dfrac{BI}{AI}=\dfrac{1}{2}.$
Vậy $d=\dfrac{3}{8}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{8}d\left( A,SC \right)=\dfrac{3}{8}.\dfrac{SA.SC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}.$
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
$d=\dfrac{3{{V}_{H.SCD}}}{{{S}_{SCD}}};\dfrac{{{V}_{S.HCD}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.HCD}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{8}SA.AB.BC=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}};{{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}SC.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{2}\Rightarrow d=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$
Đáp án C.