Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với cạnh $AD=2CD$. Biết hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$, $\left( SBD \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn $BD=6$ ; góc giữa $\left( SCD \right)$ và mặt đáy bằng $60\circ $. Hai điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$. Thể tích khối đa diện $ABCDMN$ bằng
A. $\dfrac{128\sqrt{15}}{15}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$.
C. $\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{108\sqrt{15}}{25}$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Do $\left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right)$, $\left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Theo tính chất hình chữ nhật: $A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}$ $\Leftrightarrow 5C{{D}^{2}}={{6}^{2}}\Leftrightarrow CD=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$ và $AD=\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.
Khi đó diện tích đáy: ${{S}_{ABCD}}=AD.CD=\dfrac{72}{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Do $CD\bot SO$, $CD\bot OI$ $\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow CD\bot SI$
$\Rightarrow \left( \left( SCD \right) , \left( ABCD \right) \right)=\left( SI , OI \right)=\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác $SOI$ vuông tại $O$, $OI=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$, $\widehat{SIO}=60{}^\circ $ có: $SO=OI.\tan 60{}^\circ $ $=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Thể tích $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{72}{5}.\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{144\sqrt{15}}{25}$.
Ta có ${{V}_{S.ABD}}={{V}_{S.BCD}}=\dfrac{V}{2}$.
Do ${{S}_{\Delta SMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}$ $\Rightarrow {{V}_{SMND}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABD}}=\dfrac{1}{8}V$.
Do $N$ là trung điểm của $SB$ $\Rightarrow d\left( N , \left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B , \left( SCD \right) \right)$ $\Rightarrow {{V}_{SCDN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{SBCD}}=\dfrac{1}{4}V$.
Ta có: ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{SMND}}+{{V}_{SCDN}}=\dfrac{3}{8}V$ $\Rightarrow {{V}_{ABCDMN}}=V-\dfrac{3}{8}V=\dfrac{5}{8}V=\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
A. $\dfrac{128\sqrt{15}}{15}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$.
C. $\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{108\sqrt{15}}{25}$.
Theo tính chất hình chữ nhật: $A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}$ $\Leftrightarrow 5C{{D}^{2}}={{6}^{2}}\Leftrightarrow CD=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$ và $AD=\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.
Khi đó diện tích đáy: ${{S}_{ABCD}}=AD.CD=\dfrac{72}{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Do $CD\bot SO$, $CD\bot OI$ $\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow CD\bot SI$
$\Rightarrow \left( \left( SCD \right) , \left( ABCD \right) \right)=\left( SI , OI \right)=\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác $SOI$ vuông tại $O$, $OI=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$, $\widehat{SIO}=60{}^\circ $ có: $SO=OI.\tan 60{}^\circ $ $=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Thể tích $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{72}{5}.\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{144\sqrt{15}}{25}$.
Ta có ${{V}_{S.ABD}}={{V}_{S.BCD}}=\dfrac{V}{2}$.
Do ${{S}_{\Delta SMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}$ $\Rightarrow {{V}_{SMND}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABD}}=\dfrac{1}{8}V$.
Do $N$ là trung điểm của $SB$ $\Rightarrow d\left( N , \left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B , \left( SCD \right) \right)$ $\Rightarrow {{V}_{SCDN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{SBCD}}=\dfrac{1}{4}V$.
Ta có: ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{SMND}}+{{V}_{SCDN}}=\dfrac{3}{8}V$ $\Rightarrow {{V}_{ABCDMN}}=V-\dfrac{3}{8}V=\dfrac{5}{8}V=\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án C.