Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\bot (ABCD)$, cạnh SC tạo với đáy góc $60{}^\circ $. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho $DN=a$. Khoảng cách giữa MN và SB là
A. $\dfrac{8a}{\sqrt{19}}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$
C. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{95}}{19}$
Lấy K trên AD sao cho $AK=a$ thì $MN//\left( SBK \right).AC=2a\sqrt{5}$
$\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBK \right) \right)=d\left( N,\left( SBK \right) \right)=2d\left( A,\left( SBK \right) \right)$
Vẽ $AE\bot BK$ tại E, $AH\bot SE$ tại H.
Ta có $\left( SAE \right)\bot \left( SBK \right),\left( SAE \right)\cap \left( SBK \right)=SE,AH\bot SE$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBK \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBK \right) \right)=AH.SA=AC.\sqrt{3}=2a\sqrt{15}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
= $\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$
A. $\dfrac{8a}{\sqrt{19}}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$
C. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{95}}{19}$
$\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBK \right) \right)=d\left( N,\left( SBK \right) \right)=2d\left( A,\left( SBK \right) \right)$
Vẽ $AE\bot BK$ tại E, $AH\bot SE$ tại H.
Ta có $\left( SAE \right)\bot \left( SBK \right),\left( SAE \right)\cap \left( SBK \right)=SE,AH\bot SE$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBK \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBK \right) \right)=AH.SA=AC.\sqrt{3}=2a\sqrt{15}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
= $\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{15} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}\Rightarrow d\left( MN,SB \right)=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$
Đáp án B.