Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a; AD=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$, $K$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SD$. Điểm $E$ là giao điểm của $SC$ và $\left( AMK \right)$. Hình nón $\left( N \right)$ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác $MKE$ và có đỉnh thuộc mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Khi hình nón $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì $SA$ bằng
A. $a\sqrt{3}$.
B. $a$.
C. $2a\sqrt{3}$.
D. $2a\sqrt{2}$.
Ta có $SC\bot \left( AMEK \right)$.
Lại có $AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot ME$.
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEK$ là trung điểm $F$ của $AE$.
Gọi $O$ là tâm $ABCD$. Suy ra $OF \text{//} SC\Rightarrow OF\bot \left( MEK \right)$.
Vậy thể tích hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $MKE$ và đỉnh thuộc mặt phẳng $ABCD$ bằng
$V=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{AE}{2} \right)}^{2}}.OF=\dfrac{1}{12}.\pi .A{{E}^{2}}.OF=\dfrac{1}{24}.\pi .A{{E}^{2}}.OE$. Vậy ${{V}_{\max }}\Leftrightarrow A{{E}^{2}}.O{{E}_{\max }}$.
Ta có: $A{{E}^{2}}+O{{E}^{2}}=A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}$.
Suy ra $4{{a}^{2}}=\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}+\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}+O{{E}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}A{{E}^{4}}O{{E}^{2}}}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}=\dfrac{4}{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow A{{E}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{3}{8{{a}^{2}}}$.
Ta có: $\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}\Rightarrow AS=2\sqrt{2}a$.
A. $a\sqrt{3}$.
B. $a$.
C. $2a\sqrt{3}$.
D. $2a\sqrt{2}$.
Lại có $AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot ME$.
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEK$ là trung điểm $F$ của $AE$.
Gọi $O$ là tâm $ABCD$. Suy ra $OF \text{//} SC\Rightarrow OF\bot \left( MEK \right)$.
Vậy thể tích hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $MKE$ và đỉnh thuộc mặt phẳng $ABCD$ bằng
$V=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{AE}{2} \right)}^{2}}.OF=\dfrac{1}{12}.\pi .A{{E}^{2}}.OF=\dfrac{1}{24}.\pi .A{{E}^{2}}.OE$. Vậy ${{V}_{\max }}\Leftrightarrow A{{E}^{2}}.O{{E}_{\max }}$.
Ta có: $A{{E}^{2}}+O{{E}^{2}}=A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}$.
Suy ra $4{{a}^{2}}=\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}+\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}+O{{E}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}A{{E}^{4}}O{{E}^{2}}}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{A{{E}^{2}}}{2}=\dfrac{4}{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow A{{E}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{3}{8{{a}^{2}}}$.
Ta có: $\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}\Rightarrow AS=2\sqrt{2}a$.
Đáp án D.