Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc $SO$ sao cho $SI=\dfrac{1}{3}SO$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thay đổi đi qua $B$ và $I$ cắt các cạnh $SA$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Gọi $m$, $n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\dfrac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$. Tính $\dfrac{m}{n}$ ?
A. $\dfrac{7}{5}$.
B. $\dfrac{8}{5}$.
C. $\dfrac{9}{5}$.
D. $2$.
Áp dụng định lý Menelaus ta có $\dfrac{PS}{PD}\dfrac{IO}{IS}\dfrac{BD}{BO}=1\Leftrightarrow \dfrac{PS}{PD}\dfrac{2}{1}\dfrac{2}{1}=1\Leftrightarrow \dfrac{PS}{PD}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{SD}{SP}=5$.
Đặt $x=\dfrac{SA}{SM}$, $y=\dfrac{SB}{SB}=1$, $z=\dfrac{SC}{SN}$, $t=\dfrac{SD}{SP}=5$ với $x+z=y+t=6\Rightarrow z=6-x$
Khi $N\equiv C$, Áp dụng định lý Menelaus ta có $\dfrac{MS}{MA}\dfrac{IO}{IS}\dfrac{CA}{CO}=1\Leftrightarrow \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{IS}{IO}\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{1}{4}$.
$\Rightarrow 1\le \dfrac{SA}{SM}\le 5\Rightarrow 1\le x\le 5$, khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{x+y+z+t}{4xyzt}=\dfrac{3}{5x\left( 6-x \right)}$ với $1\le x\le 5$.
Ta có $x\left( 6-x \right)=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}+9$ mà $1\le x\le 5$ $\Rightarrow 5\le x\left( 6-x \right)\le 9\Rightarrow \dfrac{1}{15}\le \dfrac{3}{5x\left( 6-x \right)}\le \dfrac{3}{25}$.
$\Rightarrow m=\dfrac{3}{25}$ và $n=\dfrac{1}{15}$ $\Rightarrow \dfrac{m}{n}=\dfrac{9}{5}$.
A. $\dfrac{7}{5}$.
B. $\dfrac{8}{5}$.
C. $\dfrac{9}{5}$.
D. $2$.
Đặt $x=\dfrac{SA}{SM}$, $y=\dfrac{SB}{SB}=1$, $z=\dfrac{SC}{SN}$, $t=\dfrac{SD}{SP}=5$ với $x+z=y+t=6\Rightarrow z=6-x$
$\Rightarrow 1\le \dfrac{SA}{SM}\le 5\Rightarrow 1\le x\le 5$, khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{x+y+z+t}{4xyzt}=\dfrac{3}{5x\left( 6-x \right)}$ với $1\le x\le 5$.
Ta có $x\left( 6-x \right)=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}+9$ mà $1\le x\le 5$ $\Rightarrow 5\le x\left( 6-x \right)\le 9\Rightarrow \dfrac{1}{15}\le \dfrac{3}{5x\left( 6-x \right)}\le \dfrac{3}{25}$.
$\Rightarrow m=\dfrac{3}{25}$ và $n=\dfrac{1}{15}$ $\Rightarrow \dfrac{m}{n}=\dfrac{9}{5}$.
Đáp án C.