Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có $AD=2AB=2BC=2a,SA=AC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
Gọi M là trung điểm AD $\Rightarrow MD=BC=\dfrac{AD}{2}$ và $MD//BC\Rightarrow MDCB$ là hình bình hành.
$\Rightarrow BM//CD\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}CD\bot \left( SBM \right)\Rightarrow d\left( CD;SB \right)=d\left( CD;\left( SBM \right) \right)$
$\Rightarrow d\left( CD;SB \right)=d\left( D;\left( SBM \right) \right)=d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
Gọi $O=BM\cap AC$. Dễ dàng chứng minh AMCB là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BM$
$\xrightarrow{BM\bot SA}BM\bot \left( SAC \right)$ tại $O\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}\left( SBM \right)\bot \left( SAO \right)$ theo giao tuyến SO.
Trong (SAO), kẻ $AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{5}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
Gọi M là trung điểm AD $\Rightarrow MD=BC=\dfrac{AD}{2}$ và $MD//BC\Rightarrow MDCB$ là hình bình hành.
$\Rightarrow BM//CD\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}CD\bot \left( SBM \right)\Rightarrow d\left( CD;SB \right)=d\left( CD;\left( SBM \right) \right)$
$\Rightarrow d\left( CD;SB \right)=d\left( D;\left( SBM \right) \right)=d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
Gọi $O=BM\cap AC$. Dễ dàng chứng minh AMCB là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BM$
$\xrightarrow{BM\bot SA}BM\bot \left( SAC \right)$ tại $O\xrightarrow{BM\subset \left( SBM \right)}\left( SBM \right)\bot \left( SAO \right)$ theo giao tuyến SO.
Trong (SAO), kẻ $AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{5}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
Đáp án D.