Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng $\left( SAB \right),\left(...

Theo bài ra có $SA\bot \left( ABC\text{D} \right)\Rightarrow SA\bot AC$, lại có $SA=AC$ nên $SA=AC=a\sqrt{2}$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A\equiv O$ ; tia $Ox\equiv AB$ ; tia $Oy\equiv AD$ ; tia $Oz\equiv AS$. Khi đó $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( a;0;0 \right)$, $C\left( a;a;0 \right)$, $D\left( 0;2\text{a};0 \right)$, $S\left( 0;0;a\sqrt{2} \right)$.

Phương trình đường thẳng CD: $\left\{ \begin{aligned}
& x=a-t \\
& y=a+t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình đường thẳng SB: $\left\{ \begin{aligned}
& x=a+{t}' \\
& y=0 \\
& z=-\sqrt{2}{t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của SB và CD với $M\in C\text{D, N}\in \text{SB}$.
Ta có $M\left( a-t;a+t;0 \right),\text{ N}\left( a+{t}';0;-\sqrt{2}{t}' \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( t+{t}';-a-t;-\sqrt{2}{t}' \right)$.
Do $MN\bot C\text{D},\text{ MN}\bot \text{SB}$ nên có
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C\text{D}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SB}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{t}'-t-a-t=0 \\
& {t}'+t+2{t}'=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2t+{t}'=-a \\
& t+3{t}'=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{3\text{a}}{5} \\
& {t}'=\dfrac{a}{5} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{2\text{a}}{5};-\dfrac{2\text{a}}{5};-\dfrac{\sqrt{2}a}{5} \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{\left( -\dfrac{2\text{a}}{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2\text{a}}{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{\sqrt{2}a}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.