Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC\text{D}$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $ABC$ bằng ${{60}^{0}}$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, $SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng
A. ${{30}^{\text{o}}}$.
B. ${{45}^{\text{o}}}$.
C. ${{60}^{\text{o}}}$.
D. ${{90}^{\text{o}}}$.
A. ${{30}^{\text{o}}}$.
B. ${{45}^{\text{o}}}$.
C. ${{60}^{\text{o}}}$.
D. ${{90}^{\text{o}}}$.
Ta có: $SC\cap \left( ABCD \right)=C$ ; $SA\bot \left( ABCD \right)$ tại $A$.
$\Rightarrow $ Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $AC$.
$\Rightarrow $ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\alpha =\widehat{SCA}$.
Do $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Do đó $AC=a$.
Suy ra: $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Do đó: $\alpha =\widehat{SBA}={{30}^{\text{o}}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{\text{o}}}$.
$\Rightarrow $ Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $AC$.
$\Rightarrow $ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\alpha =\widehat{SCA}$.
Do $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Do đó $AC=a$.
Suy ra: $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Do đó: $\alpha =\widehat{SBA}={{30}^{\text{o}}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{\text{o}}}$.
Đáp án A.