Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=x$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua M và song song với hai đường thẳng $SA, BC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chia hình chóp thành hai phần, trong đó phần chứa điểm B có thể tích là ${V}'$. Biết ${V}'=\dfrac{208}{343}V$. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn bài toán.
A. $\dfrac{135}{686}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $0$.
D. $\dfrac{3}{7}$.
Gọi $N,E,F$ lần lượt là giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với các cạnh $SB,SC,AC$. Khi đó từ giả thiết suy ra $MN//EF//AS, MF//NE//BC$. Vậy thiết diện là hình bình hành $MNEF$.
Dựng hình lăng trụ $SB'C'.ABC$, kéo dài $MK,FE$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $K,H$.
Ta có :
+)$\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{{{V}_{SABC}}}{{{V}_{SB'C'.ABC}}}=\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{{{V}_{SKH.AMN}}}{{{V}_{SB'C'.ABC}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AF}{AC}={{x}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \dfrac{{{V}_{SABC}}}{{{V}_{SKH.AMN}}}=\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow {{V}_{SKH.AMN}}=3{{x}^{2}}.{{V}_{SABC}} \left( 1 \right)$.
+) $\dfrac{NB}{BS}=\dfrac{NM}{KM}=\dfrac{BM}{BA}=1-x; \dfrac{NM}{KM}=\dfrac{FE}{FH}=1-x$.
+) $\dfrac{{{V}_{AMF.SNE}}}{{{V}_{AMF.SKH}}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{NM}{KM}+\dfrac{SA}{SA}+\dfrac{FE}{FH} \right)=\dfrac{1}{3}\left( 1-x+1+1-x \right)=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right)$.
Suy ra ${{V}_{AMF.SNE}}=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right){{V}_{AMF.SKH}}=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right).3{{x}^{2}}.{{V}_{S.ABC}}$
Và ${{V}_{BMN.CFE}}=\left[ 1-\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right).3{{x}^{2}} \right].{{V}_{S.ABC}}=\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right).{{V}_{S.ABC}}$.
Từ giả thiết ta có phương trình $2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=\dfrac{208}{343}\Rightarrow x=\dfrac{3}{7}$.
A. $\dfrac{135}{686}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $0$.
D. $\dfrac{3}{7}$.
Gọi $N,E,F$ lần lượt là giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với các cạnh $SB,SC,AC$. Khi đó từ giả thiết suy ra $MN//EF//AS, MF//NE//BC$. Vậy thiết diện là hình bình hành $MNEF$.
Dựng hình lăng trụ $SB'C'.ABC$, kéo dài $MK,FE$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $K,H$.
Ta có :
+)$\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{{{V}_{SABC}}}{{{V}_{SB'C'.ABC}}}=\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{{{V}_{SKH.AMN}}}{{{V}_{SB'C'.ABC}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AF}{AC}={{x}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \dfrac{{{V}_{SABC}}}{{{V}_{SKH.AMN}}}=\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow {{V}_{SKH.AMN}}=3{{x}^{2}}.{{V}_{SABC}} \left( 1 \right)$.
+) $\dfrac{NB}{BS}=\dfrac{NM}{KM}=\dfrac{BM}{BA}=1-x; \dfrac{NM}{KM}=\dfrac{FE}{FH}=1-x$.
+) $\dfrac{{{V}_{AMF.SNE}}}{{{V}_{AMF.SKH}}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{NM}{KM}+\dfrac{SA}{SA}+\dfrac{FE}{FH} \right)=\dfrac{1}{3}\left( 1-x+1+1-x \right)=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right)$.
Suy ra ${{V}_{AMF.SNE}}=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right){{V}_{AMF.SKH}}=\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right).3{{x}^{2}}.{{V}_{S.ABC}}$
Và ${{V}_{BMN.CFE}}=\left[ 1-\dfrac{1}{3}\left( 3-2x \right).3{{x}^{2}} \right].{{V}_{S.ABC}}=\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right).{{V}_{S.ABC}}$.
Từ giả thiết ta có phương trình $2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=\dfrac{208}{343}\Rightarrow x=\dfrac{3}{7}$.
Đáp án D.