Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $B,$ $AB=a.$ Gọi I là trung điểm của $AC.$ Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thoả mãn $\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{IH}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là ${{60}^{o}}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là:
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
Cách 1:
40703506102354000020000Dễ thấy hai tam giác $SAB$ và $SAC$ bằng nhau (cạnh chung $SB$ ), gọi $K$ là chân đường cao hạ từ $A$ trong tam giác $SAB$ suy ra $\widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)}=\widehat{AKC}.$
TH1: $\widehat{AKC}={{60}^{o}}$ kết hợp $I$ là trung điểm của $AC$ suy ra $\widehat{IKC}={{30}^{o}}.$
Ta có $IB=IC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},BH=\dfrac{4}{3}BI=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}.$
Từ giả thiết tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ta được $AC\bot BI\Rightarrow IC\bot IK.$
Trong tam giác $ICK$ vuông tại $I$ có
$\tan \widehat{IKC}=\dfrac{IC}{IK}\Leftrightarrow IK=\dfrac{IC}{\tan {{30}^{o}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Như vậy $IK>IB$ (vô lý).
TH2: $\widehat{AKC}={{120}^{o}},$ tương tự phần trên ta có
$\tan \widehat{IKC}=\dfrac{IC}{IK}\Leftrightarrow IK=\dfrac{IC}{\tan {{60}^{o}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Do $SB\bot \left( AKC \right)\Rightarrow SB\bot IK$ nên tam giác $BIK$ vuông tại $K$ và $BK=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Như vậy tam giác $BKI$ đồng dạng với tam giác $BHS\Rightarrow SH=\dfrac{IK.BH}{BK}=\dfrac{2a}{3}.$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là:
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
Cách 2: Dùng phương pháp toạ độ hoá.
$$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
Cách 1:
40703506102354000020000Dễ thấy hai tam giác $SAB$ và $SAC$ bằng nhau (cạnh chung $SB$ ), gọi $K$ là chân đường cao hạ từ $A$ trong tam giác $SAB$ suy ra $\widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)}=\widehat{AKC}.$
TH1: $\widehat{AKC}={{60}^{o}}$ kết hợp $I$ là trung điểm của $AC$ suy ra $\widehat{IKC}={{30}^{o}}.$
Ta có $IB=IC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},BH=\dfrac{4}{3}BI=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}.$
Từ giả thiết tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ta được $AC\bot BI\Rightarrow IC\bot IK.$
Trong tam giác $ICK$ vuông tại $I$ có
$\tan \widehat{IKC}=\dfrac{IC}{IK}\Leftrightarrow IK=\dfrac{IC}{\tan {{30}^{o}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Như vậy $IK>IB$ (vô lý).
TH2: $\widehat{AKC}={{120}^{o}},$ tương tự phần trên ta có
$\tan \widehat{IKC}=\dfrac{IC}{IK}\Leftrightarrow IK=\dfrac{IC}{\tan {{60}^{o}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Do $SB\bot \left( AKC \right)\Rightarrow SB\bot IK$ nên tam giác $BIK$ vuông tại $K$ và $BK=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Như vậy tam giác $BKI$ đồng dạng với tam giác $BHS\Rightarrow SH=\dfrac{IK.BH}{BK}=\dfrac{2a}{3}.$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là:
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
Cách 2: Dùng phương pháp toạ độ hoá.
$$
Đáp án A.