Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ bằng $\dfrac{a}{\sqrt{13}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $N\in AC:\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{3}, G=MN\cap AI\Rightarrow AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $d\left( SM,BC \right)=d\left( BC,\left( SMN \right) \right)=d\left( B,\left( SNM \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SMN \right) \right)$, suy ra $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SG$.
Khi đó $MN\bot AG,MN\bot SA\Rightarrow MN\bot \left( SAG \right)\Rightarrow MN\bot AK$. Vậy $AK\bot \left( SMN \right)$, hay $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AK=\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$.
Ta có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}=\dfrac{13}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{3}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2a$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $N\in AC:\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{3}, G=MN\cap AI\Rightarrow AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $d\left( SM,BC \right)=d\left( BC,\left( SMN \right) \right)=d\left( B,\left( SNM \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SMN \right) \right)$, suy ra $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SG$.
Khi đó $MN\bot AG,MN\bot SA\Rightarrow MN\bot \left( SAG \right)\Rightarrow MN\bot AK$. Vậy $AK\bot \left( SMN \right)$, hay $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AK=\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$.
Ta có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}=\dfrac{13}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{3}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2a$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án A.