Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SC\bot \left( ABC \right)$ và tam giác ABC vuông tại B. Biết $AB=a,AC=a\sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ bằng $\alpha $ với $\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{6}{19}}.$ Tính độ dài SC theo a.
A. $SC=\sqrt{6}a.$
B. $SC=2\sqrt{6}a.$
C. $SC=a\sqrt{7}.$
D. $SC=6a.$
A. $SC=\sqrt{6}a.$
B. $SC=2\sqrt{6}a.$
C. $SC=a\sqrt{7}.$
D. $SC=6a.$
Kẻ $CK\bot SB=K;\ CH\bot SA=H$.
Khi đó, $\alpha =\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( CH;HK \right)}=\widehat{CHK}$.
$\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{6}{19}}\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{247}}{19}$ (*).
Đặt $SC=x\Rightarrow HC=\dfrac{xa\sqrt{3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}};CK=\dfrac{xa\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}$.
Từ (*) suy ra: $\dfrac{CK}{HC}=\dfrac{\sqrt{247}}{19}\Rightarrow x=6a$.
Vậy $SC=6a$.
Khi đó, $\alpha =\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( CH;HK \right)}=\widehat{CHK}$.
$\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{6}{19}}\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{247}}{19}$ (*).
Đặt $SC=x\Rightarrow HC=\dfrac{xa\sqrt{3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}};CK=\dfrac{xa\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}$.
Từ (*) suy ra: $\dfrac{CK}{HC}=\dfrac{\sqrt{247}}{19}\Rightarrow x=6a$.
Vậy $SC=6a$.
Đáp án D.