Cho hình chóp S.ABC có $SA=x,BC=y,SA=AC=SB=SC=1.$ Tính thể tích...

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và SA
Ta có $BC\bot \left( SAI \right)$
Nên ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}BC.{{S}_{SAI}}=\dfrac{1}{3}xy\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}}\le \dfrac{1}{3}xy\sqrt{1-\dfrac{xy}{2}}$
$=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{xy}{4}.\dfrac{xy}{4}.\left( 1-\dfrac{xy}{2} \right)}\le \dfrac{2}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=y \\
& \dfrac{xy}{4}=1-\dfrac{xy}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Vậy $x+y=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$
Chú ý:
+ Thể tích hình tứ diện có diện tích đáy là B và chiều cao h: $V=\dfrac{1}{3}Bh$
+ Bất đẳng thức Cô-si:
$\begin{aligned}
& x+y\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4\text{x}y\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}\ge \dfrac{xy}{2} \\
& \Leftrightarrow 1-\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}\ge 1-\dfrac{xy}{2} \\
\end{aligned}$
+ $A\ge B$ thì $\sqrt{A}\ge \sqrt{B}$ (với $A,B>0)$