Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$, có $SA$ vuông góc mặt phẳng $(ABC)$ ; tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=2a$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. $8\pi {{a}^{2}}$.
B. $32\pi {{a}^{2}}$.
C. $16\pi {{a}^{2}}$.
D. $4\pi {{a}^{2}}$.
+ Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{SBC}=90{}^\circ $ (1)
+ Lại có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \widehat{SAC}=90{}^\circ $ (2)
+ Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \Rightarrow $ Bốn điểm $S, A, B, C$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $SC$.
+ Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $\Rightarrow R=\dfrac{SC}{2}$
+ $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$ $\Rightarrow R=a\sqrt{2}$.
+ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}$.
A. $8\pi {{a}^{2}}$.
B. $32\pi {{a}^{2}}$.
C. $16\pi {{a}^{2}}$.
D. $4\pi {{a}^{2}}$.
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{SBC}=90{}^\circ $ (1)
+ Lại có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \widehat{SAC}=90{}^\circ $ (2)
+ Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \Rightarrow $ Bốn điểm $S, A, B, C$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $SC$.
+ Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $\Rightarrow R=\dfrac{SC}{2}$
+ $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$ $\Rightarrow R=a\sqrt{2}$.
+ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án A.