Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC)$, đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA=a$, $AB=a\sqrt{2}$, góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{2}{12}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{2}{12}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Ta có
$BC\bot AB$
$BC\bot SA$
$\Rightarrow BC\bot (SAB)$ $\Rightarrow BC\bot AK$ $\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow AK\bot SC$ $\Rightarrow SC\bot \left( AKI \right)$ $\Rightarrow SC\bot KI$.
Giả sử góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\alpha $, suy ra $\alpha $ là góc tạo bởi hai đường thẳng $AI$ và $IK$.
Mặt khác $AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AK\bot KI$ $\Rightarrow \alpha =\widehat{AIK}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông $SAB$, có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AK=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Trong tam giác vuông $AKI$, có $\sin \widehat{AIK}=\sin 60{}^\circ =\dfrac{AK}{AI}$ $\Rightarrow AI=\dfrac{AK}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}$.
Trong tam giác vuông $SAC$, có
$\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{8{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AC=2\sqrt{2}a$.
Xét tam giác vuông $ABC$, có $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\vartriangle ABC}}.SA=\dfrac{1}{6}AB.BC.SA=\dfrac{1}{6}a\sqrt{2}.a\sqrt{6.}a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
$BC\bot AB$
$BC\bot SA$
$\Rightarrow BC\bot (SAB)$ $\Rightarrow BC\bot AK$ $\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow AK\bot SC$ $\Rightarrow SC\bot \left( AKI \right)$ $\Rightarrow SC\bot KI$.
Giả sử góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\alpha $, suy ra $\alpha $ là góc tạo bởi hai đường thẳng $AI$ và $IK$.
Mặt khác $AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AK\bot KI$ $\Rightarrow \alpha =\widehat{AIK}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông $SAB$, có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AK=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Trong tam giác vuông $AKI$, có $\sin \widehat{AIK}=\sin 60{}^\circ =\dfrac{AK}{AI}$ $\Rightarrow AI=\dfrac{AK}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}$.
Trong tam giác vuông $SAC$, có
$\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{8{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AC=2\sqrt{2}a$.
Xét tam giác vuông $ABC$, có $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\vartriangle ABC}}.SA=\dfrac{1}{6}AB.BC.SA=\dfrac{1}{6}a\sqrt{2}.a\sqrt{6.}a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.