Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng

(A B C)

là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho

\hat{A H B} = 150^{\circ}; \hat{B H C} = 120^{\circ}; \hat{C H A} = 90^{\circ}

. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA bằng

\frac{124 π}{3}

. Tính chiều cao SH của hình chóp.
A.

S H = \frac{4}{3}

B.

S H = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

C.

S H = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

D.

S H = \frac{2}{3}

Gọi

r_{1}, r_{2}, r_{3}

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

Δ H A B, Δ H B C, Δ H C A

.
Theo định lí Sin, ta có

\frac{A B}{\sin \hat{A H B}} = 2 r_{1} \Rightarrow r_{1} = \frac{2}{2. \sin 150^{\circ}} = 2

; tương tự

\Rightarrow {\begin{aligned} r_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ r_{3} = 1 \end{aligned}

.
Gọi

R_{1}, R_{2}, R_{3}

lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.
Đặt

S H = 2 x \to R_{1} = \sqrt{r_{1}^{2} + \frac{S H^{2}}{4}} = \sqrt{x^{2} + 4}; R_{2} = \sqrt{x^{2} + \frac{4}{3}}

và

R_{3} = \sqrt{x^{2} + 1}

.
Suy ra

\sum S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 4 π R_{1}^{2} + 4 π R_{2}^{2} + 4 π R_{3}^{2} = 4 π (3 x^{2} + \frac{19}{3}) = \frac{124 π}{3} \Rightarrow x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là

V = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{3} . \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4}{3}

.
Chú ý: "Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và $R_{Δ A B C}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\to R = \sqrt{R_{Δ A B C}^{2} + \frac{S A^{2}}{4}}$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC".

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page