Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat{AHB}=150{}^\circ ;\widehat{BHC}=120{}^\circ ;\widehat{CHA}=90{}^\circ $. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA bằng $\dfrac{124\pi }{3}$. Tính chiều cao SH của hình chóp.
A. $SH=\dfrac{4}{3}$
B. $SH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $SH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D. $SH=\dfrac{2}{3}$
A. $SH=\dfrac{4}{3}$
B. $SH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $SH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D. $SH=\dfrac{2}{3}$
Gọi ${{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HCA$.
Theo định lí Sin, ta có $\dfrac{AB}{\sin \widehat{AHB}}=2{{\text{r}}_{1}}\Rightarrow {{r}_{1}}=\dfrac{2}{2.\sin 150{}^\circ }=2$ ; tương tự $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}_{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\
& {{r}_{3}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.
Đặt $SH=2\text{x}\to {{R}_{1}}=\sqrt{r_{1}^{2}+\dfrac{S{{H}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{x}^{2}}+4};{{R}_{2}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}}$ và ${{R}_{3}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Suy ra $\sum{S}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=4\pi R_{1}^{2}+4\pi R_{2}^{2}+4\pi R_{3}^{2}=4\pi \left( 3{{\text{x}}^{2}}+\dfrac{19}{3} \right)=\dfrac{124\pi }{3}\Rightarrow x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4}{3}$.
Chú ý: "Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và ${{R}_{\Delta ABC}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\to R=\sqrt{R_{\Delta ABC}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC".
Theo định lí Sin, ta có $\dfrac{AB}{\sin \widehat{AHB}}=2{{\text{r}}_{1}}\Rightarrow {{r}_{1}}=\dfrac{2}{2.\sin 150{}^\circ }=2$ ; tương tự $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}_{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\
& {{r}_{3}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.
Đặt $SH=2\text{x}\to {{R}_{1}}=\sqrt{r_{1}^{2}+\dfrac{S{{H}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{x}^{2}}+4};{{R}_{2}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}}$ và ${{R}_{3}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Suy ra $\sum{S}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=4\pi R_{1}^{2}+4\pi R_{2}^{2}+4\pi R_{3}^{2}=4\pi \left( 3{{\text{x}}^{2}}+\dfrac{19}{3} \right)=\dfrac{124\pi }{3}\Rightarrow x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4}{3}$.
Chú ý: "Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và ${{R}_{\Delta ABC}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\to R=\sqrt{R_{\Delta ABC}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC".
Đáp án C.