Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,$ $AB=a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a.$ Gọi $M,$ $N$ lần lượt là trung điểm của $SB,$ $SC.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\varphi $. Biết $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{5} $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Giao tuyến của hai mp $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC,$ $MN.$
Ta có
$\bullet $ $AB\bot BC\Rightarrow AB\bot d.$
$\bullet $ $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$ hay $AM\bot d.$
Từ đó suy ra $\left( \widehat{\left( AMN \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{AM,AB} \right)=\widehat{MAB}.$
Đặt $SA=x$.
Xét tam giác vuông $SAB,$ có $SB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Rightarrow BM=AM=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$.
Áp dụng định lí Côsin, ta có
$\cos \widehat{MAB}=\dfrac{A{{M}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2.AM.AB}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}}{2.\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow x=2a$.
Thể tích khối chóp đã cho bằng $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{6}.{{a}^{2}}.2a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Giao tuyến của hai mp $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC,$ $MN.$
Ta có
$\bullet $ $AB\bot BC\Rightarrow AB\bot d.$
$\bullet $ $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$ hay $AM\bot d.$
Từ đó suy ra $\left( \widehat{\left( AMN \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{AM,AB} \right)=\widehat{MAB}.$
Đặt $SA=x$.
Xét tam giác vuông $SAB,$ có $SB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Rightarrow BM=AM=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$.
Áp dụng định lí Côsin, ta có
$\cos \widehat{MAB}=\dfrac{A{{M}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2.AM.AB}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}}{2.\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow x=2a$.
Thể tích khối chóp đã cho bằng $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{6}.{{a}^{2}}.2a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.