Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt bên $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH\bot AB$.
Mặt khác : $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,BM$ nên $HN\bot BC$.
Ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& SH\bot BC \\
& HN\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SHN \right)\bot BC$
$\Rightarrow $ Góc giữa 2 mặt phẳng $\left( SBC \right);\left( ABC \right)$ là góc giữa 2 đường thẳng $HN,SN$.
Vì tam giác $ABC$ $$đều nên $HN=\frac{1}{2}AM=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow SH=\tan {{60}^{0}}.HN=\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a}{4}$.
Vậy $V=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Mặt khác : $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,BM$ nên $HN\bot BC$.
Ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& SH\bot BC \\
& HN\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SHN \right)\bot BC$
$\Rightarrow $ Góc giữa 2 mặt phẳng $\left( SBC \right);\left( ABC \right)$ là góc giữa 2 đường thẳng $HN,SN$.
Vì tam giác $ABC$ $$đều nên $HN=\frac{1}{2}AM=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow SH=\tan {{60}^{0}}.HN=\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a}{4}$.
Vậy $V=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án A.