Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, I là trung điểm...

Kẻ đường thẳng Ax song song với IC, kẻ $HE\bot \text{Ax}$ tại E.
Vì IC // (SAE) nên d(IC; SA) = d(IC; (SAE)) = d(H; (SAE)).
Kẻ $HK\bot \text{SE}$ tại K, $\text{K}\in \text{SE}$ (1)
$\left\{ \begin{aligned}
& Ax\bot HE \\
& Ax\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow Ax\bot \left( SEA \right)\Rightarrow Ax\bot HK$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $HK\bot \left( SAE \right)$
Vậy d(H;(SAE)) = HK.
$CH=IH=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4};AH=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$
$\left( SA;\left( ABC \right) \right)=\widehat{SAH}=45{}^\circ \Rightarrow $ ∆SAH vuông cân tại H nên $SH=AH=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$
Ta có: $HE=IA=\dfrac{a}{2}$ (vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật)
$HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{7}}{4}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{7}}{4} \right)}^{2}}.{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{7}7}{22}$