Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC cỏ đáy là tam giác đều cạnh $a=4\sqrt{2}$ cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và $SC=2$ cm. Gọi M, N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM bằng
A. 30°.
B. 60°.
C. 45°.
D. 90°.
A. 30°.
B. 60°.
C. 45°.
D. 90°.
Gọi I là trung điểm của BM, ta có $NI//CM$ nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI.
Xét tam giác SNI có
$SN=\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$ ; $NI=\dfrac{1}{2}CM=\dfrac{1}{2}4\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$ ;
$CI=\sqrt{C{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{24+2}=\sqrt{26}\Rightarrow SI=\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}}=\sqrt{4+26}=\sqrt{30}$ Vậy $\cos \widehat{SNI}=\dfrac{S{{N}^{2}}+N{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2SN.NI}=\dfrac{12+6-30}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{6}}=\dfrac{-12}{3\sqrt{2}.4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SNI}=135{}^\circ $
Vậy góc giữa SN và CM bằng 45°.
Xét tam giác SNI có
$SN=\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$ ; $NI=\dfrac{1}{2}CM=\dfrac{1}{2}4\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$ ;
$CI=\sqrt{C{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{24+2}=\sqrt{26}\Rightarrow SI=\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}}=\sqrt{4+26}=\sqrt{30}$ Vậy $\cos \widehat{SNI}=\dfrac{S{{N}^{2}}+N{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2SN.NI}=\dfrac{12+6-30}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{6}}=\dfrac{-12}{3\sqrt{2}.4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SNI}=135{}^\circ $
Vậy góc giữa SN và CM bằng 45°.
Đáp án C.