Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, (SAC) vuông góc với (ABC), biết $AB=SC=a,SA=BC=a\sqrt{3}.$ Gọi là góc tạo bởi SA và (SBC). Tính $\sin \alpha .$
A. $\sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
B. $\sin \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{13}}.$
C. $\sin \alpha =\dfrac{1}{3\sqrt{13}}.$
D. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{13}}.$
Dựng $SH\bot AC,$ do $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right);AC=2a.$
Dựng $HE\bot BC;HF\bot SE\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HF.$
$\Delta SAC=\Delta BCA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S.
Dễ thấy $\tan \widehat{ACB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ACB}={{30}^{o}}=\widehat{SAC}$
$HC=SC\cos {{60}^{o}}=\dfrac{a}{2};HE=HC\sin {{30}^{o}}=\dfrac{a}{4};SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Do $AC=4HC\Rightarrow {{d}_{A}}=4{{d}_{H}}=4.\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$
Do đó $\sin \alpha =\dfrac{{{d}_{A}}}{SA}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
A. $\sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
B. $\sin \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{13}}.$
C. $\sin \alpha =\dfrac{1}{3\sqrt{13}}.$
D. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{13}}.$
Dựng $SH\bot AC,$ do $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right);AC=2a.$
Dựng $HE\bot BC;HF\bot SE\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HF.$
$\Delta SAC=\Delta BCA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S.
Dễ thấy $\tan \widehat{ACB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ACB}={{30}^{o}}=\widehat{SAC}$
$HC=SC\cos {{60}^{o}}=\dfrac{a}{2};HE=HC\sin {{30}^{o}}=\dfrac{a}{4};SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Do $AC=4HC\Rightarrow {{d}_{A}}=4{{d}_{H}}=4.\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$
Do đó $\sin \alpha =\dfrac{{{d}_{A}}}{SA}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
Đáp án A.