Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại A, $AB=1...

Vì tam giác $SAB$ và $SAC$ lần lượt vuông tại B và C nên ta dụng hình chữ nhật $A^{\prime }BAC$.
Khi đó $S{A}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }BAC\right)$. Suy ra $\{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }{A}^{\prime }B\\ & AB\mathrm{\perp }S{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(S{A}^{\prime }B\right)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }{A}^{\prime }H\\ & A^{\prime }H\mathrm{\perp }SB\end{array}\Rightarrow A^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$
$\Rightarrow d(C,\left(SAB\right))=d(A^{\prime },\left(SAB\right))=A^{\prime }H={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=2=A^{\prime }A$.
Xét $\mathrm{\Delta }S{A}^{\prime }B$ vuông tại $A^{\prime }$ có: ${\displaystyle \frac{1}{A^{\prime }{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{S{A^{\prime }}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A^{\prime }{B}^2}}\iff {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{1}{S{A^{\prime }}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow S{A}^{\prime }=1$.
Suy ra: $SA=\sqrt{S{A^{\prime }}^2+A^{\prime }{A}^2}=\sqrt{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm $SA\Rightarrow IA=IB=IC=IS=R={\displaystyle \frac{SA}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$.
Ta có thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{5\pi \sqrt{5}}{6}}$.