Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại A, $AB=1, AC=\sqrt{3}.$ Tam giác $SAB$ và $SAC$ lần lượt vuông tại B và C. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ biết khoảng cách từ C đến $(SAB)$ là $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{4\pi \sqrt{5}}{3}$.
B. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{2}$.
C. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{6}$.
D. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{24}$.
Vì tam giác $SAB$ và $SAC$ lần lượt vuông tại B và C nên ta dụng hình chữ nhật ${A}'BAC$.
Khi đó $SA'\bot \left( {A}'BAC \right)$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {A}'B \\
& AB\bot S{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( S{A}'B \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {A}'H \\
& A'H\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=d\left( A',\left( SAB \right) \right)=A'H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2={A}'A$.
Xét $\Delta S{A}'B$ vuông tại ${A}'$ có: $\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{S{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow S{A}'=1$.
Suy ra: $SA=\sqrt{S{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{A}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm $SA\Rightarrow IA=IB=IC=IS=R=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Ta có thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{6}$.
A. $\dfrac{4\pi \sqrt{5}}{3}$.
B. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{2}$.
C. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{6}$.
D. $\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{24}$.
Vì tam giác $SAB$ và $SAC$ lần lượt vuông tại B và C nên ta dụng hình chữ nhật ${A}'BAC$.
Khi đó $SA'\bot \left( {A}'BAC \right)$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {A}'B \\
& AB\bot S{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( S{A}'B \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {A}'H \\
& A'H\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=d\left( A',\left( SAB \right) \right)=A'H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2={A}'A$.
Xét $\Delta S{A}'B$ vuông tại ${A}'$ có: $\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{S{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow S{A}'=1$.
Suy ra: $SA=\sqrt{S{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{A}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm $SA\Rightarrow IA=IB=IC=IS=R=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Ta có thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{5\pi \sqrt{5}}{6}$.
Đáp án C.