Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy $\Delta ABC$ vuông cân ở $B,AC=a\sqrt{2},SA\bot \left( ABC \right),SA=a$. Gọi G là trọng tâm của $\Delta SBC$, $\alpha $ đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V.
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{54}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
Trong $\left( SBC \right)$ qua G kẻ $MN//BC\ \left( M\in SB,N\in SC \right)$.
Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng $\left( AMN \right)$.
Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì $MN//BC$ ; theo định lý Ta-lét ta có: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\left( =\dfrac{SG}{SH} \right)$.
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}$.
Mà ${{V}_{S.AMN}}+{{V}_{AMNBC}}={{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{AMNBC}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}=V$.
Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Vậy $V=\dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{54}$.
Công thức tỉ số lượng giác: Cho chóp $S.ABC,A'\in SA,B'\in SB,C'\in SC$. Khi đó $\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}$.
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{54}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
Trong $\left( SBC \right)$ qua G kẻ $MN//BC\ \left( M\in SB,N\in SC \right)$.
Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng $\left( AMN \right)$.
Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì $MN//BC$ ; theo định lý Ta-lét ta có: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\left( =\dfrac{SG}{SH} \right)$.
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}$.
Mà ${{V}_{S.AMN}}+{{V}_{AMNBC}}={{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{AMNBC}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}=V$.
Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Vậy $V=\dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{54}$.
Công thức tỉ số lượng giác: Cho chóp $S.ABC,A'\in SA,B'\in SB,C'\in SC$. Khi đó $\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}$.
Đáp án A.