Cho hình chóp S.ABC có đáy $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân ở...

Trong $\left(SBC\right)$ qua G kẻ $MN//BC(M\in SB,N\in SC)$.
Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng $\left(AMN\right)$.
Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì $MN//BC$ ; theo định lý Ta-lét ta có: ${\displaystyle \frac{SM}{SB}}={\displaystyle \frac{SN}{SC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(={\displaystyle \frac{SG}{SH}})$.
${\displaystyle \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{SM}{SB}}.{\displaystyle \frac{SN}{SC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\Rightarrow V_{S.AMN}={\displaystyle \frac{4}{9}}{V}_{S.ABC}$.
Mà $V_{S.AMN}+V_{AMNBC}=V_{S.ABC}\Rightarrow V_{AMNBC}={\displaystyle \frac{5}{9}}{V}_{S.ABC}=V$.
Ta có $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow AB=BC={\displaystyle \frac{AC}{\sqrt{2}}}=a\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2$.
$\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.SA.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.a.{\displaystyle \frac{1}{2}}.a^2={\displaystyle \frac{a^3}{6}}$.
Vậy $V={\displaystyle \frac{5}{9}}.{\displaystyle \frac{a^3}{6}}={\displaystyle \frac{5a^3}{54}}$.
Công thức tỉ số lượng giác: Cho chóp $S.ABC,A^{\prime }\in SA,B^{\prime }\in SB,C^{\prime }\in SC$. Khi đó ${\displaystyle \frac{V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{S{A}^{\prime }}{SA}}.{\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}.{\displaystyle \frac{S{C}^{\prime }}{SC}}$.