Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC=SB=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm của $BC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $75{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ theo giả thiết ta có $SH\bot \left( ABC \right)$.
Do $AH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên $\widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,AH \right)}=\widehat{SAH}$ do tam giác $SAH$ vuông tại $H$.
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ nên $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}$.
Xét tam giác $SAH$ vuông tại $H$ ta có $\tan \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow \widehat{SAH}=60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=60{}^\circ $.
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $75{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Do $AH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên $\widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,AH \right)}=\widehat{SAH}$ do tam giác $SAH$ vuông tại $H$.
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ nên $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}$.
Xét tam giác $SAH$ vuông tại $H$ ta có $\tan \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow \widehat{SAH}=60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=60{}^\circ $.
Đáp án B.