Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = 4cm. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Lấy M thuộc SC sao cho CM = 2MS. Khoảng cách giữa hai đường AC và BM là
A. $\dfrac{4\sqrt{21}}{7}cm$.
B. $\dfrac{8\sqrt{13}}{13}cm$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}}{13}cm$.
D. $\dfrac{2\sqrt{21}}{7}cm$.
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot \left( ABC \right)$
Trong $\left( SAC \right)$ từ M dựng $MN//AC$
Gọi K là hình chiếu của H trên BN
Ta có $AC\bot (SAB)$ mà $MN//AC\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot BN \\
& HK\bot MN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( BMN \right).$
Vì $\left( BMN \right)//AC$ suy ra khoảng cách giữa hai đường AC và BM là khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( BMN \right)$
$d\left( A,\left( BMN \right) \right)=2\text{d}\left( H,\left( BMN \right) \right)=2HK=2BH\sin ABN$
Gọi P là trung điểm của SA, xét $\Delta BPN$ vuông tại P
Ta có $BN=\sqrt{B{{P}^{2}}+N{{P}^{2}}}=\sqrt{12+\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{3}$
Lại có $\dfrac{BN}{\sin \widehat{BAN}}=\dfrac{AN}{\sin \widehat{ABN}}\Leftrightarrow \sin ABN=\dfrac{\dfrac{8}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{4\sqrt{7}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$
Suy ra $d\left( A,\left( BMN \right) \right)=2.2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}$
A. $\dfrac{4\sqrt{21}}{7}cm$.
B. $\dfrac{8\sqrt{13}}{13}cm$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}}{13}cm$.
D. $\dfrac{2\sqrt{21}}{7}cm$.
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot \left( ABC \right)$
Trong $\left( SAC \right)$ từ M dựng $MN//AC$
Gọi K là hình chiếu của H trên BN
Ta có $AC\bot (SAB)$ mà $MN//AC\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot BN \\
& HK\bot MN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( BMN \right).$
Vì $\left( BMN \right)//AC$ suy ra khoảng cách giữa hai đường AC và BM là khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( BMN \right)$
$d\left( A,\left( BMN \right) \right)=2\text{d}\left( H,\left( BMN \right) \right)=2HK=2BH\sin ABN$
Gọi P là trung điểm của SA, xét $\Delta BPN$ vuông tại P
Ta có $BN=\sqrt{B{{P}^{2}}+N{{P}^{2}}}=\sqrt{12+\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{3}$
Lại có $\dfrac{BN}{\sin \widehat{BAN}}=\dfrac{AN}{\sin \widehat{ABN}}\Leftrightarrow \sin ABN=\dfrac{\dfrac{8}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{4\sqrt{7}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$
Suy ra $d\left( A,\left( BMN \right) \right)=2.2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}$
Đáp án A.