Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $AB=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ sao cho $\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{IH}$ và góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ theo $a$
A. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{2\sqrt{3}}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
Kẻ $MI$ vuông góc với $SB$ tại $M$ (1)
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SH \\
& AC\bot BI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBH \right)\Rightarrow AC\bot SB$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $SB\bot \left( ACM \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SB\bot AM \\
& SB\bot CM \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{AMC}$ hay phần bù của nó là góc $\varphi $
Ta lại có: $\widehat{AMC}>\widehat{ABC}=90{}^\circ $
Do đó $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\varphi =60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{AMC}=\alpha =180{}^\circ -\varphi =120{}^\circ $
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và có $AB=a$ nên ta có:
$AC=a\sqrt{2};BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};BH=\dfrac{4}{3}BI=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$
Tam giác cân $MAC$ có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC=a\sqrt{2} \\
& \widehat{AMC}=120{}^\circ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MI=IC.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
Kẻ $HK$ vuông góc với $SB$ tại $K$
Ta có: $\dfrac{HK}{MI}=\dfrac{BH}{BI}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow HK=\dfrac{4}{3}MI=\dfrac{2a\sqrt{6}}{9}$
Tam giác vuông $HSB$ có: $\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{2a}{3}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ với ${{S}_{d}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$ là: $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{d}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
A. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{2\sqrt{3}}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
Kẻ $MI$ vuông góc với $SB$ tại $M$ (1)
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SH \\
& AC\bot BI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBH \right)\Rightarrow AC\bot SB$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $SB\bot \left( ACM \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SB\bot AM \\
& SB\bot CM \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{AMC}$ hay phần bù của nó là góc $\varphi $
Ta lại có: $\widehat{AMC}>\widehat{ABC}=90{}^\circ $
Do đó $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\varphi =60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{AMC}=\alpha =180{}^\circ -\varphi =120{}^\circ $
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và có $AB=a$ nên ta có:
$AC=a\sqrt{2};BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};BH=\dfrac{4}{3}BI=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$
Tam giác cân $MAC$ có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC=a\sqrt{2} \\
& \widehat{AMC}=120{}^\circ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MI=IC.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
Kẻ $HK$ vuông góc với $SB$ tại $K$
Ta có: $\dfrac{HK}{MI}=\dfrac{BH}{BI}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow HK=\dfrac{4}{3}MI=\dfrac{2a\sqrt{6}}{9}$
Tam giác vuông $HSB$ có: $\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{2a}{3}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ với ${{S}_{d}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$ là: $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{d}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
Đáp án D.