Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, độ dài cạnh $AC=2a$, các tam giác $\Delta SAB,\Delta SCB$ lần lượt vuông tại $A$ và $C$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $a$. Giá trị cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCB)$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BA=BC \\
& SB\ chung \\
& \widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SCB\left( c.g.c \right)\Rightarrow SA=SC$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left( ABC \right)\Rightarrow \Delta SHA=\Delta SHC\left( c.g.c \right)\Rightarrow HA=HC$
$\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot AB \\
& AB\bot SH \\
& SC\bot BC \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AH \\
& BC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow ABCH$là hình vuông.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SA\Rightarrow HM\bot SA$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SC\Rightarrow HN\bot SC$.
Do đó góc giữa 2 mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCB)$ là góc giữa 2 đường thẳng $HM,HN$. Tam giác
$SHM$ vuông tại $H\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( HM \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( HA \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( SH \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow HM=HN=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
$\Delta SMH\sim \Delta SHA\Rightarrow \dfrac{SM}{SH}=\dfrac{SH}{SA}\Rightarrow \dfrac{SM}{SA}=\dfrac{{{\left( SH \right)}^{2}}}{{{\left( SA \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2a}{3}$.
$\cos \widehat{MHN}=\dfrac{2H{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2H{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3}$. cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCB)$ bằng $\dfrac{2}{3}$
A. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
& BA=BC \\
& SB\ chung \\
& \widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SCB\left( c.g.c \right)\Rightarrow SA=SC$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left( ABC \right)\Rightarrow \Delta SHA=\Delta SHC\left( c.g.c \right)\Rightarrow HA=HC$
$\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot AB \\
& AB\bot SH \\
& SC\bot BC \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AH \\
& BC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow ABCH$là hình vuông.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SA\Rightarrow HM\bot SA$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SC\Rightarrow HN\bot SC$.
Do đó góc giữa 2 mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCB)$ là góc giữa 2 đường thẳng $HM,HN$. Tam giác
$SHM$ vuông tại $H\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( HM \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( HA \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( SH \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow HM=HN=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
$\Delta SMH\sim \Delta SHA\Rightarrow \dfrac{SM}{SH}=\dfrac{SH}{SA}\Rightarrow \dfrac{SM}{SA}=\dfrac{{{\left( SH \right)}^{2}}}{{{\left( SA \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2a}{3}$.
$\cos \widehat{MHN}=\dfrac{2H{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2H{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3}$. cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCB)$ bằng $\dfrac{2}{3}$
Đáp án B.