Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A, C. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCB) bằng
A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
$B\left( 0; 0; 0 \right), A\left( a\sqrt{2}; 0; 0 \right), C\left( 0; a\sqrt{2}; 0 \right), S\left( x; y; z \right)$
Ta có $\left( ABC \right):z=0, \overrightarrow{AS}=\left( x-a\sqrt{2}; y; z \right), \overrightarrow{CS}=\left( x; y-a\sqrt{2}; z \right)$
Do $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow \left( x-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\Rightarrow x=a\sqrt{2}, d\left( S, \left( ABC \right) \right)=2a\Rightarrow z=2a\left( z>0 \right)$
$\overrightarrow{CS}.\overrightarrow{CB}=0\Rightarrow \left( y-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\Rightarrow y=a\sqrt{2}\Rightarrow S\left( a\sqrt{2}; a\sqrt{2}; 2a \right)$
Ta có $\overrightarrow{AS}=\left( 0;a\sqrt{2};2a \right),\overrightarrow{CS}=\left( a\sqrt{2};0;2a \right),\overrightarrow{BS}=\left( a\sqrt{2};a\sqrt{2};2a \right)$
$\left( SBC \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( -\sqrt{2}; 0; 1 \right)$, $\left( SAB \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m}=\left( 0; \sqrt{2}; -1 \right)\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\dfrac{1}{2}$
$B\left( 0; 0; 0 \right), A\left( a\sqrt{2}; 0; 0 \right), C\left( 0; a\sqrt{2}; 0 \right), S\left( x; y; z \right)$
Ta có $\left( ABC \right):z=0, \overrightarrow{AS}=\left( x-a\sqrt{2}; y; z \right), \overrightarrow{CS}=\left( x; y-a\sqrt{2}; z \right)$
Do $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow \left( x-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\Rightarrow x=a\sqrt{2}, d\left( S, \left( ABC \right) \right)=2a\Rightarrow z=2a\left( z>0 \right)$
$\overrightarrow{CS}.\overrightarrow{CB}=0\Rightarrow \left( y-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\Rightarrow y=a\sqrt{2}\Rightarrow S\left( a\sqrt{2}; a\sqrt{2}; 2a \right)$
Ta có $\overrightarrow{AS}=\left( 0;a\sqrt{2};2a \right),\overrightarrow{CS}=\left( a\sqrt{2};0;2a \right),\overrightarrow{BS}=\left( a\sqrt{2};a\sqrt{2};2a \right)$
$\left( SBC \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( -\sqrt{2}; 0; 1 \right)$, $\left( SAB \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m}=\left( 0; \sqrt{2}; -1 \right)\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$
Đáp án A.