Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=2a$ và $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AM$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Ta có $AB=AC=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ suy ra ${{S}_{\Delta ABC}}={{a}^{2}}$.
Qua $B$ dựng đường thẳng $BD//AM$.
Khi đó $d\left( AM;SB \right)=d\left( AM;(SBI) \right)=d\left( A;(SBI) \right).$
Từ $A$ kẻ $AI\bot BD,AH\bot SI$, suy ra $d\left( A;(SBD) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ suy ra $AM\bot BC,AM=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Tứ giác $AMBI$ là hình vuông suy ra $AI=AM=a$.
Trong tam giác vuông $SAI$ ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Qua $B$ dựng đường thẳng $BD//AM$.
Khi đó $d\left( AM;SB \right)=d\left( AM;(SBI) \right)=d\left( A;(SBI) \right).$
Từ $A$ kẻ $AI\bot BD,AH\bot SI$, suy ra $d\left( A;(SBD) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ suy ra $AM\bot BC,AM=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Tứ giác $AMBI$ là hình vuông suy ra $AI=AM=a$.
Trong tam giác vuông $SAI$ ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.