Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=a$, $SB\bot \left( ABC \right)$, $SB=a\sqrt{2}$. Gọi góc giữa $SC$ và $\left( SAB \right)$ là $\alpha $. Tính $\tan \alpha $.
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot AB \\
& AC\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAB \right)$
Suy ra, hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $SA$ $\Rightarrow \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\left( SC;SA \right)=\widehat{ASC}=\alpha $
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AC=AB=a$
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác $SAB$ ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan \widehat{ASC}=\dfrac{AC}{SA}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
& AC\bot AB \\
& AC\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAB \right)$
Suy ra, hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là $SA$ $\Rightarrow \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\left( SC;SA \right)=\widehat{ASC}=\alpha $
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AC=AB=a$
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác $SAB$ ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan \widehat{ASC}=\dfrac{AC}{SA}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Đáp án A.