Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình...

Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:
$O(0;0;0),A(1;0;0),B(0;-1;0),C(0;1;0),S(0;m;n)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;-1;0),\overrightarrow{AC}=(-1;1;0),\overrightarrow{AS}=(-1;m;n)$.
Mặt phẳng $\left(SBC\right):x=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$.
Mặt phẳng $\left(SAC\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}]=(n;n;-m+1).$
Mặt phẳng $\left(SAB\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(-n;n;-m-1).$
$\begin{array}{rl}& \cos 60{}^{\circ }={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}}={\displaystyle \frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}}\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}}\iff 4n^2=2n^2+{(-m-1)}^2\iff 2n^2={(-m-1)}^2\left(1\right)\\ & \cos \phi ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}}={\displaystyle \frac{\left|n\right|}{\sqrt{2n^2+{(-m+1)}^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\iff 4\left|n\right|=\sqrt{4n^2+2{(-m+1)}^2}\iff 6n^2={(1-m)}^2\left(2\right)\end{array}$
Từ (1) và (2) suy ra $3{(m+1)}^2={(1-m)}^2\iff [\begin{array}{rl}& m=-2+\sqrt{3}\\ & m=-2-\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& n=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ & n=\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}$.
$\Rightarrow [\begin{array}{rl}& S(0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}})\\ & S(0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}})\end{array}$
$\begin{array}{rl}& \Rightarrow [\begin{array}{rl}& H(0;-2+\sqrt{3};0)\\ & H(0;-2-\sqrt{3};0)\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& SH=\sqrt{2-\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2+\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ & SH=\sqrt{2+\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2-\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}\\ & \Rightarrow \tan \alpha ={\displaystyle \frac{SH}{AH}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
Lưu ý: Sử dụng phương pháp gắn hệ trục tọa độ sẽ giúp bài toán trở nên dễ tính toán hơn.