Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ tạo với $\left( SBC \right)$ một góc $60{}^\circ $ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ tạo với $\left( SBC \right)$ một góc $\varphi $ thỏa mãn $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Tính $\tan \alpha $.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\sqrt{3}.$
Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:
$O\left( 0;0;0 \right),A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-1;0 \right),C\left( 0;1;0 \right),S\left( 0;m;n \right)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{AS}=\left( -1;m;n \right)$.
Mặt phẳng $\left( SBC \right):x=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAC \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( n;n;-m+1 \right).$
Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS} \right]=\left( -n;n;-m-1 \right).$
$\begin{aligned}
& \cos 60{}^\circ =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}=2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}={{\left( -m-1 \right)}^{2}}\ \ \ \left( 1 \right) \\
& \cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow 4\left| n \right|=\sqrt{4{{n}^{2}}+2{{\left( -m+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 6{{n}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}} \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned}$
Từ (1) và (2) suy ra $3{{\left( m+1 \right)}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2+\sqrt{3} \\
& m=-2-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& n=\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S\left( 0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}} \right) \\
& S\left( 0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& H\left( 0;-2+\sqrt{3};0 \right) \\
& H\left( 0;-2-\sqrt{3};0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& SH=\sqrt{2-\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{{\left( -2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& SH=\sqrt{2+\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{{\left( -2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SH}{AH}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned}$
Lưu ý: Sử dụng phương pháp gắn hệ trục tọa độ sẽ giúp bài toán trở nên dễ tính toán hơn.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\sqrt{3}.$
Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:
$O\left( 0;0;0 \right),A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-1;0 \right),C\left( 0;1;0 \right),S\left( 0;m;n \right)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{AS}=\left( -1;m;n \right)$.
Mặt phẳng $\left( SBC \right):x=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAC \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( n;n;-m+1 \right).$
Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS} \right]=\left( -n;n;-m-1 \right).$
$\begin{aligned}
& \cos 60{}^\circ =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}=2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}={{\left( -m-1 \right)}^{2}}\ \ \ \left( 1 \right) \\
& \cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow 4\left| n \right|=\sqrt{4{{n}^{2}}+2{{\left( -m+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 6{{n}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}} \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned}$
Từ (1) và (2) suy ra $3{{\left( m+1 \right)}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2+\sqrt{3} \\
& m=-2-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& n=\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S\left( 0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}} \right) \\
& S\left( 0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& H\left( 0;-2+\sqrt{3};0 \right) \\
& H\left( 0;-2-\sqrt{3};0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& SH=\sqrt{2-\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{{\left( -2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& SH=\sqrt{2+\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{{\left( -2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SH}{AH}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned}$
Lưu ý: Sử dụng phương pháp gắn hệ trục tọa độ sẽ giúp bài toán trở nên dễ tính toán hơn.
Đáp án C.