Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Nếu $AB=a$ thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng:
A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Gọi M là trung điểm của AC, kẻ $HE//BM\left( E\in AC \right)\Rightarrow HE\bot AC$
Từ H kẻ $HK\bot SE$ mà $AC\bot \left( SHE \right)\Rightarrow AC\bot HK\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right).$
Xét SHE vuông tại H, có $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},HE=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{30}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}.$
Mặt khác $d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2.d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2.HK\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Gọi M là trung điểm của AC, kẻ $HE//BM\left( E\in AC \right)\Rightarrow HE\bot AC$
Từ H kẻ $HK\bot SE$ mà $AC\bot \left( SHE \right)\Rightarrow AC\bot HK\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right).$
Xét SHE vuông tại H, có $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},HE=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{30}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}.$
Mặt khác $d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2.d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2.HK\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Đáp án B.