Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt...

Gọi H là trung điểm của AB. Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB$.
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH$ là đường cao của hình chóp S.ABC.
Qua G kẻ đường thẳng d song song với $SH\Rightarrow d\bot \left( ABC \right)$.
Gọi G là trọng tâm của $\Delta ABC\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Gọi K là trung điểm của SC, vì $\Delta SHC$ vuông cân tại $H\left( SH=HC \right)\Rightarrow HK$ là đường trung trực ứng với SC.
Gọi $I=d\cap HK$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB=IC \\
& IS=IC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IA=IB=IC=IS$
$\Rightarrow $ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét hai tam giác đều $\Delta ABC=\Delta SAB$ có độ dài các cạnh bằng 1. G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow CG=\dfrac{2}{3}CH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Xét $\Delta HIG$ vuông tại G ta có $IG=HG=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow IC=\dfrac{\sqrt{15}}{6}$
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $V=\dfrac{4}{3}\pi I{{C}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{15}}{6} \right)}^{3}}=\dfrac{5\pi \sqrt{15}}{54}$.
Cách khác :
Áp dụng công thức tính nhanh ${{R}_{mc}}=\sqrt{R_{day}^{2}+R_{mb}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}$ trong đó ${{R}_{day}}={{R}_{mb}}=\dfrac{AB}{\sqrt{3}}$