Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot SI$
$\Rightarrow \left( \left( ABC \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{SIA}=30{}^\circ .$
Do tam giác ABC đều cạnh a nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác vuông SAI có
$SA=AI.\tan SIA\Leftrightarrow SA=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.BC.AI.SA=\dfrac{1}{6}.a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot SI$
$\Rightarrow \left( \left( ABC \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{SIA}=30{}^\circ .$
Do tam giác ABC đều cạnh a nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác vuông SAI có
$SA=AI.\tan SIA\Leftrightarrow SA=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.BC.AI.SA=\dfrac{1}{6}.a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
Đáp án C.