Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $SA\bot \left( ABC \right)$ góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
D. 2a.
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB lên $\left( ABC \right)$.
$\widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SB,AB \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Dựng hình bình hành ACBD.
Ta có: $BD//AC\Rightarrow \left( SBD \right)//AC$.
$\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)$.
Do tam giác ABC đều $\Rightarrow AC=CB=AB=a$.
Mà $AC=BD;CB=AD\Rightarrow AB=AD=BD=a\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm của $BD\Rightarrow AM\bot BD$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AM \\
& BD\bot SA\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAM \right)$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM\Rightarrow AH\bot BD\left( BD\bot \left( SAM \right) \right)\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=AH$.
Xét tam giác vuông SAB ta có $SA=AB.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: $AH=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $d\left( AC;SB \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
D. 2a.
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB lên $\left( ABC \right)$.
$\widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SB,AB \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Dựng hình bình hành ACBD.
Ta có: $BD//AC\Rightarrow \left( SBD \right)//AC$.
$\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)$.
Do tam giác ABC đều $\Rightarrow AC=CB=AB=a$.
Mà $AC=BD;CB=AD\Rightarrow AB=AD=BD=a\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm của $BD\Rightarrow AM\bot BD$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AM \\
& BD\bot SA\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAM \right)$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM\Rightarrow AH\bot BD\left( BD\bot \left( SAM \right) \right)\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=AH$.
Xét tam giác vuông SAB ta có $SA=AB.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: $AH=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $d\left( AC;SB \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.