Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên $\left( SAB \right)$, $\left( SAC \right)$, $\left( SBC \right)$ lần lượt tạo với đáy các góc là $30{}^\circ ,45{}^\circ ,60{}^\circ $. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( ABC \right)$ nằm trong tam giác $ABC$.
A. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
B. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
C. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}$.
D. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{4\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
A. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
B. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
C. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}$.
D. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{4\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right)$.
Đặt $SH=h$
Hạ $HI,HJ,HK$ lần lượt vuông góc với các cạnh $AB,BC,AC$.
Xét $\Delta SHI$ : $\tan 30{}^\circ =\dfrac{SH}{HI}\Rightarrow HI=h\sqrt{3}$
Xét $\Delta SHJ$ : $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SH}{HJ}\Rightarrow HJ=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$
Xét $\Delta SHK$ : $\tan 45{}^\circ =\dfrac{SH}{HK}\Rightarrow HK=h$
Xét $\Delta ABC$ :
$\begin{aligned}
& {{S}_{ABC}}={{S}_{HAB}}+{{S}_{HBC}}+{{S}_{HAC}}=\dfrac{1}{2}HI.AB+\dfrac{1}{2}HJ.BC+\dfrac{1}{2}HK.AC \\
& =\dfrac{1}{2}.h\sqrt{3}.3+\dfrac{1}{2}.\dfrac{h}{\sqrt{3}}.3+\dfrac{1}{2}.h.3 \\
& =\dfrac{h\left( 4+\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned}$
Mà ${{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}.A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{.3}^{2}}}{4}$
Nên: $\dfrac{h\left( 4+\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{.3}^{2}}}{4}\Leftrightarrow h=\dfrac{9}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Đặt $SH=h$
Xét $\Delta SHI$ : $\tan 30{}^\circ =\dfrac{SH}{HI}\Rightarrow HI=h\sqrt{3}$
Xét $\Delta SHJ$ : $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SH}{HJ}\Rightarrow HJ=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$
Xét $\Delta SHK$ : $\tan 45{}^\circ =\dfrac{SH}{HK}\Rightarrow HK=h$
Xét $\Delta ABC$ :
$\begin{aligned}
& {{S}_{ABC}}={{S}_{HAB}}+{{S}_{HBC}}+{{S}_{HAC}}=\dfrac{1}{2}HI.AB+\dfrac{1}{2}HJ.BC+\dfrac{1}{2}HK.AC \\
& =\dfrac{1}{2}.h\sqrt{3}.3+\dfrac{1}{2}.\dfrac{h}{\sqrt{3}}.3+\dfrac{1}{2}.h.3 \\
& =\dfrac{h\left( 4+\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned}$
Mà ${{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}.A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{.3}^{2}}}{4}$
Nên: $\dfrac{h\left( 4+\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{.3}^{2}}}{4}\Leftrightarrow h=\dfrac{9}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Đáp án B.