Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng $30{}^\circ $. Biết $AB=5,AC=7,BC=8$ tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}.$
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{13}.$
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}.$
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}.$
A. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}.$
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{13}.$
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}.$
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}.$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=30{}^\circ $ (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau. Suy ra $HA=HB=HC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=10\sqrt{3}$.
Mặt khác ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\Rightarrow HB=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác vuông SHB có $SH=HB.\tan 30{}^\circ =\dfrac{7}{3},SB=\dfrac{HB}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{14}{3}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$.
Do đó: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.d.{{S}_{\Delta SBC}}\Rightarrow d=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{70\sqrt{3}}{9}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
Ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=30{}^\circ $ (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau. Suy ra $HA=HB=HC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=10\sqrt{3}$.
Mặt khác ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\Rightarrow HB=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác vuông SHB có $SH=HB.\tan 30{}^\circ =\dfrac{7}{3},SB=\dfrac{HB}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{14}{3}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$.
Do đó: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.d.{{S}_{\Delta SBC}}\Rightarrow d=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{70\sqrt{3}}{9}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
Đáp án A.