Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có đáy ${A B C D}$ là hình vuông cạnh ${a}$, biết ${S A}$ vuông góc với đáy ${\left(A B C D\right)}$ và ${S A=2 a}$. Tính khoảng cách ${h}$ từ điểm ${A}$ đến mặt phẳng ${\left(S B D\right)}$.
A. ${h=\dfrac{a}{2}}$.
B. ${h=\dfrac{a}{3}}$.
C. ${h=\dfrac{3 a}{2}}$.
D. ${h=\dfrac{2 a}{3}}$.
Trong ${\left(A B C D\right)}$, gọi $AC\cap BD=O$.
Trong $\left( SAC \right)$, gọi $H$ là hình chiếu của ${A}$ lên $SO$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SA \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$.
Mặt khác, $AH\bot SO$ nên $AH\bot \left( SBD \right)$.
Suy ra $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{SA.OA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\dfrac{2a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a}{3}$.
A. ${h=\dfrac{a}{2}}$.
B. ${h=\dfrac{a}{3}}$.
C. ${h=\dfrac{3 a}{2}}$.
D. ${h=\dfrac{2 a}{3}}$.
Trong $\left( SAC \right)$, gọi $H$ là hình chiếu của ${A}$ lên $SO$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SA \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$.
Mặt khác, $AH\bot SO$ nên $AH\bot \left( SBD \right)$.
Suy ra $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{SA.OA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\dfrac{2a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án D.