Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật với $A B=2 a, B C=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy và đường thẳng $S C$ tạo với mặt phẳng $(S A B)$ một góc $30^{\circ}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S$. ABCD theo $a$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3} a^3}{3}$.
B. $V=2 \sqrt{3} a^3$.
C. $V=\dfrac{2 \sqrt{15} a^3}{3}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{15} a^3}{3}$.
$S A \perp(A B C D) \Rightarrow S A \perp B C$, mà $B C \perp A B$ (hình chữ nhật $A B C D) \Rightarrow B C \perp(S A B)$
$\Rightarrow B$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $(S A B) \Rightarrow \widehat{B S C}=(S C,(S A B))=30^{\circ}$
$\triangle B S C$ vuông tại $B$, ta có: $S B=B C \cdot \cot \widehat{B S C}=a \sqrt{3} \cdot \cot 30^{\circ}=3 a$
$\triangle S A B$ vuông tại $A$, ta có: $S A=\sqrt{S B^2-A B^2}=\sqrt{9 a^2-4 a^2}=\sqrt{5 a^2}=a \sqrt{5}$
Diện tích hình chữ nhật $A B C D$ là $A B . B C=2 a \cdot a \sqrt{3}=2 a^2 \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S$. $A B C D$ là $V=\dfrac{1}{3} \cdot a \sqrt{5} \cdot 2 a^2 \sqrt{3}=\dfrac{2 \sqrt{15} a^3}{3}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3} a^3}{3}$.
B. $V=2 \sqrt{3} a^3$.
C. $V=\dfrac{2 \sqrt{15} a^3}{3}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{15} a^3}{3}$.
$\Rightarrow B$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $(S A B) \Rightarrow \widehat{B S C}=(S C,(S A B))=30^{\circ}$
$\triangle B S C$ vuông tại $B$, ta có: $S B=B C \cdot \cot \widehat{B S C}=a \sqrt{3} \cdot \cot 30^{\circ}=3 a$
$\triangle S A B$ vuông tại $A$, ta có: $S A=\sqrt{S B^2-A B^2}=\sqrt{9 a^2-4 a^2}=\sqrt{5 a^2}=a \sqrt{5}$
Diện tích hình chữ nhật $A B C D$ là $A B . B C=2 a \cdot a \sqrt{3}=2 a^2 \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S$. $A B C D$ là $V=\dfrac{1}{3} \cdot a \sqrt{5} \cdot 2 a^2 \sqrt{3}=\dfrac{2 \sqrt{15} a^3}{3}$.
Đáp án C.