Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a ; S A=\dfrac{a}{2}$. Đường thẳng $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $S B$ và $A C$ bằng
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
D. $a$.
Gọi $D$ sao cho tứ giác $A B C D$ là hình thoi, $I$ trung điểm $B D$ suy ra $A I \perp B D$.
Ta có $A C / /(S B D)$.
Vậy $d(A C ; S B)=d(A C ;(S B D))=d(A ;(S B D))$.
Trong tam giác $\triangle S A I$ kẻ $A M \perp S I$ ; mà $B D \perp(S A I) \Rightarrow B D \perp S I$, suy ra $A M \perp(S B D)$.
Vậy $d(A ;(S B D))=A M$.
Do tam giác $A B D$ đều nên $A I=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Xét $\triangle S A I$ vuông tại $A$ ta có $A M=\dfrac{S A \cdot A I}{\sqrt{S A^2+A I^2}}=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(A C ; S B)=d(A ;(S B D))=A M=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
D. $a$.
Ta có $A C / /(S B D)$.
Vậy $d(A C ; S B)=d(A C ;(S B D))=d(A ;(S B D))$.
Trong tam giác $\triangle S A I$ kẻ $A M \perp S I$ ; mà $B D \perp(S A I) \Rightarrow B D \perp S I$, suy ra $A M \perp(S B D)$.
Vậy $d(A ;(S B D))=A M$.
Do tam giác $A B D$ đều nên $A I=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Xét $\triangle S A I$ vuông tại $A$ ta có $A M=\dfrac{S A \cdot A I}{\sqrt{S A^2+A I^2}}=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(A C ; S B)=d(A ;(S B D))=A M=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.