Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác $S . A B C$, có $A B C$ là tam giác đều cạnh $a, S A=S B=S C=a \sqrt{3}$. Tính cosin góc giữa $S A$ và $(A B C)$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Gọi $A I, C K$ lần lượt các đường cao trong tam giác $A B C, H=A I \cap C K$.
Ta có $B C \perp A I ; B C \perp S I \Rightarrow B C \perp S H$.
Tương tự, $A B \perp S H$.
Suy ra $S H \perp(A B C)$ nên $A H$ là hình chiếu của $S A$ lên $(A B C)$
$\Rightarrow(S A \widehat{(A B C}))=(S \widehat{A ; A H})=\widehat{S A H}$.
Xét tam giác $S A H$ vuông tại $H$ có $A H=\dfrac{2}{3} A I=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
$\cos \widehat{S A H}=\dfrac{A H}{S A}=\dfrac{\dfrac{a \sqrt{3}}{3}}{a \sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Ta có $B C \perp A I ; B C \perp S I \Rightarrow B C \perp S H$.
Tương tự, $A B \perp S H$.
Suy ra $S H \perp(A B C)$ nên $A H$ là hình chiếu của $S A$ lên $(A B C)$
$\Rightarrow(S A \widehat{(A B C}))=(S \widehat{A ; A H})=\widehat{S A H}$.
Xét tam giác $S A H$ vuông tại $H$ có $A H=\dfrac{2}{3} A I=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
$\cos \widehat{S A H}=\dfrac{A H}{S A}=\dfrac{\dfrac{a \sqrt{3}}{3}}{a \sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$
Đáp án D.