Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB. SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích V của khối chóp ABCNM.
A. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{32}.$
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{48}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{96}.$
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, MN. Gọi H là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta có: $\Delta SBC$ cân tại $S\Rightarrow SF\bot MN$.
$\left\{ \begin{aligned}
& SF\bot MN \\
& MN=\left( SBC \right)\cap \left( AMN \right) \\
& \left( SBC \right)\bot \left( AMN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SF\bot \left( AMN \right)$
Ta có: $\Delta ASE$ có AF vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến $\Rightarrow \Delta ASE$ cân tại A.
$\Rightarrow SA=AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6},{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABC}}\Rightarrow {{V}_{SAMNCB}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{SABC}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{32}$ (đvtt)
A. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{32}.$
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{48}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{96}.$
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, MN. Gọi H là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta có: $\Delta SBC$ cân tại $S\Rightarrow SF\bot MN$.
$\left\{ \begin{aligned}
& SF\bot MN \\
& MN=\left( SBC \right)\cap \left( AMN \right) \\
& \left( SBC \right)\bot \left( AMN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SF\bot \left( AMN \right)$
Ta có: $\Delta ASE$ có AF vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến $\Rightarrow \Delta ASE$ cân tại A.
$\Rightarrow SA=AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6},{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABC}}\Rightarrow {{V}_{SAMNCB}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{SABC}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{32}$ (đvtt)
Đáp án A.