Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N...

Gọi D là trung điểm của BC.
Do $\Delta SBC$ cân tại S $\Rightarrow SD\bot BC.$
MN là đường trung bình của
$\Rightarrow MN\text{//}BC\Rightarrow MN\bot SD$ và $MN=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a}{2}.$
Gọi $H=MN\cap SD\Rightarrow SH\bot MN$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMN \right)\bot \left( SCD \right) \\
& \left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)=MN\Rightarrow SH\bot \left( AMN \right) \\
& \left( SCD \right)\supset SH\bot MN \\
\end{aligned} \right..$
Tương tự ta chứng minh được $AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AH\bot SD$ tại H là trung điểm của SD
$\Rightarrow \Delta SAD$ cân tại A $\Rightarrow SA=AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=SB=SC.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SBD có
$SD=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SH=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAH ta có
$AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AH.MN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{96}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=4{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24}.$