Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $2a$. Gọi $M$ là trung điểm
của đoạn $SB$ và N là điểm trên đoạn $SC$ sao cho $SN=2NC$. Thể tích của khối chóp
$A.BCNM$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{24}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{36}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$. Vì $S.ABC$ là chóp đều nên $SH\bot \left( ABC \right)$ với H là trọng tâm tam giác $ABC$.
Xét tam giác $SAH$ vuông tại H có: $SA=2a; AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{33}}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{33}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A.BCNM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Do đó: ${{V}_{A.BCNM}}=\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$.
của đoạn $SB$ và N là điểm trên đoạn $SC$ sao cho $SN=2NC$. Thể tích của khối chóp
$A.BCNM$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{24}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{36}$.
Xét tam giác $SAH$ vuông tại H có: $SA=2a; AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{33}}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{33}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A.BCNM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Do đó: ${{V}_{A.BCNM}}=\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$.
Đáp án A.