Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $A.BCD$ có cạnh $AC\bot \left( BCD \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC=a\sqrt{2}$ và $M$ là trung điểm của $BD$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AM$ bằng
A. $a\sqrt{\dfrac{6}{11}}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{7}{5}}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{4}{7}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Dựng $CH\bot AM\Rightarrow d\left( C,AM \right)=CH$.
Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ và $M$ là trung điểm của $BD$ nên dễ tính được $CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta ACM$ vuông tại $C$ có $CH$ là đường cao, ta có:
$\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{11}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow C{{H}^{2}}=\dfrac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow CH=a\sqrt{\dfrac{6}{11}}$.
A. $a\sqrt{\dfrac{6}{11}}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{7}{5}}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{4}{7}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Dựng $CH\bot AM\Rightarrow d\left( C,AM \right)=CH$.
Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ và $M$ là trung điểm của $BD$ nên dễ tính được $CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta ACM$ vuông tại $C$ có $CH$ là đường cao, ta có:
$\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{11}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow C{{H}^{2}}=\dfrac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow CH=a\sqrt{\dfrac{6}{11}}$.
Đáp án A.