Cho hàm $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc bốn. Biết rằng...

Ta có $\left| 4f\left( x \right)+2{{x}^{2}} \right|-2{{m}^{2}}+1=1\Leftrightarrow \left| 4f\left( x \right)+2{{x}^{2}} \right|=2{{m}^{2}},\ \left( 1 \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=4f\left( x \right)+2{{x}^{2}}$, ta có ${h}'\left( x \right)=4\left[ {f}'\left( x \right)-\left( -x \right) \right]$.
Dựa vào đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-x$.
Ta thấy: ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-3 \\
& x=0 \\
& x=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. $ và $ h\left( -3 \right)=4f\left( -3 \right)+2{{\left( -3 \right)}^{2}}=-1 $, $ h\left( 0 \right)=0 $, $ h\left( \dfrac{3}{2} \right)=4f\left( \dfrac{3}{2} \right)+2{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=-\dfrac{29}{2}$.
Do đó ta có bảng biến thiên hàm số $h\left( x \right)$ như sau
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số $\left| h\left( x \right) \right|$ như sau
Do đó để phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng hai nghiệm thực thì $2{{m}^{2}}>\dfrac{29}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{\sqrt{29}}{2} \\
& m<-\dfrac{\sqrt{29}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m$ là số nguyên thuộc $\left( -50;50 \right)$ nên $\left[ \begin{aligned}
& 3\le m\le 49 \\
& -49\le m\le -3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $94$ số nguyên $m$ thỏa mãn.